図形と方程式（直線・円）の練習問題

考え方

座標を使って、2点間の距離、点から直線までの最短距離、円の中心と半径を計算できるようになります。地図上の距離、電波や配送の届く範囲、CAD や画像処理の位置計算などで使います。

2点間の距離

座標の差を2辺とする直角三角形の斜辺として、三平方の定理で求めた長さです。

直線の方程式

$ax + by + c = 0$ や $y = mx + k$ の形で表した直線です。

円の方程式

中心 $(a, b)$、半径 r の円は $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ と表せます。

点と直線の距離

点から直線に垂直に下ろした線分（垂線）の長さで、最短距離です。

2点 $(x_{1}, y_{1})$、$(x_{2}, y_{2})$ の距離は、横の差と縦の差を2辺とする直角三角形の斜辺なので、三平方の定理で $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ です。座標平面の計算の多くは、この考え方がもとになっています。

円は「中心からの距離が一定（半径 r）の点の集まり」です。点 $(x, y)$ と中心 $(a, b)$ の距離が r なので、$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ が円の方程式になります。

$x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 3 = 0$ のように展開された式は、x と y をそれぞれ平方完成すると $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ となります。中心は、かっこの中が 0 になる $(2, -3)$、半径は 4 です。$(-2, 3)$ と符号を逆に読まないよう注意しましょう。

点と直線の距離は、直線を $ax + by + c = 0$ の形にしておけば、$\frac{|ax_{1} + by_{1} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ で計算できます。分子は点の座標を直線の式の左辺に代入した値の絶対値、分母は x と y の係数の2乗の和の平方根です。

ポイント

2点間の距離: $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$

円: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$（中心 $(a, b)$、半径 r）

点 $(x_{1}, y_{1})$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離: $\dfrac{|ax_{1} + by_{1} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

点 $(x_{1}, y_{1})$ を通り傾き m の直線: $y - y_{1} = m(x - x_{1})$

解き方の手順

1. 点と直線の距離は、直線を $ax + by + c = 0$ の形に直し、a, b, c を読み取ります。
2. 分子: 点の座標を $ax + by + c$ に代入し、絶対値をとります。
3. 分母: $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を計算します（項ごとに √ をとらない）。分数は約分して答えます。
4. 円の中心は、x の項と y の項をそれぞれ平方完成し、$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の形にして読み取ります。