平面ベクトルの練習問題

考え方

「どちらへ、どれだけ」を表すベクトルを成分で計算し、長さや、2つの向きのなす角を求められるようになります。力や速度の合成、地図上の移動、データ分析のコサイン類似度などで使います。

ベクトル

向きと大きさをもつ量です。矢印で表し、置く場所が違っても、向きと長さが同じなら同じベクトルです。

成分 $(a_1, a_2)$

x 方向に $a_1$、y 方向に $a_2$ 進む、という表し方です。

大きさ $|\vec{a}|$

矢印の長さです。

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

2つのベクトルの向きがどれだけそろっているかを表す数です。

ベクトルは「どちらへ、どれだけ」を表す矢印です。平面では、x 方向に $a_1$、y 方向に $a_2$ 進む矢印を $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と成分で書きます。足し算や実数倍は、成分ごとに計算できます。

大きさ（矢印の長さ）は、三平方の定理から $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}$ です。√ は足し算に分けられないので、$|a_1| + |a_2|$ にはなりません。

内積は $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$（θ は2つのなす角）で、成分を使うと $a_1b_1 + a_2b_2$ で計算できます。向きがそろうほど大きく、垂直なら 0、反対向きに近いと負になります。

この2つの式を組み合わせると、$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ でなす角が求まります。θ は 0° から 180° の範囲で考え、cos が負なら鈍角です。

ポイント

大きさ: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}$

内積: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

なす角: $\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$（$0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}$）

垂直: $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$（$\vec{a}$、$\vec{b}$ は $\vec{0}$ でない）

解き方の手順

1. 内積を成分で計算します: $a_1b_1 + a_2b_2$（負の数はかっこをつけて）。
2. それぞれの大きさを求めてかけ合わせ、根号をできるだけ簡単な形にします。
3. $\cos\theta$ = 内積 ÷ 大きさの積 を計算します。
4. cos の値から、0° 〜 180° の範囲で θ を決めます（$\frac{\sqrt{2}}{2}$ なら 45°、$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ なら 135°）。