空間ベクトルの練習問題

考え方

縦・横・高さの3つの座標で位置を表し、空間の2点間の距離や、ベクトルのなす角・垂直を調べられるようになります。ドローンの飛行経路、建物や部品の設計、3D グラフィックスで使う考え方です。

空間の座標 (x, y, z)

平面の x 座標・y 座標に、高さを表す z 座標を加えた3つの数で、点の位置を表します。

$\overrightarrow{AB}$

点 A から点 B へ向かうベクトルです。成分は「B の座標 − A の座標」です。

空間では、平面の x 軸・y 軸に、高さを表す z 軸を加えた3つの数 (x, y, z) で位置を表します。ベクトルも3つの成分 $(a_1, a_2, a_3)$ になりますが、計算のきまりは平面のときと同じです。

点 A から点 B へのベクトルは、「B の座標 − A の座標」で求めます。例えば $A(1, 2, 0)$、$B(7, 5, 2)$ なら $\overrightarrow{AB} = (6, 3, 2)$ です。

長さは三平方の定理を2回使って求めます。床の上の対角線の長さの2乗が $6^{2} + 3^{2} = 45$、それと高さ 2 で直角三角形を作ると $AB = \sqrt{45 + 2^{2}} = \sqrt{49} = 7$ です（下の図）。まとめると $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}}$ で、成分の絶対値をそのまま足すのではありません。

内積も成分が1つ増えるだけで、$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ です。$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ でなす角が、内積が 0 かどうかで垂直かどうかがわかります。

ポイント

$\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1,\ b_2 - a_2,\ b_3 - a_3)$（B の座標 − A の座標）

大きさ・2点間の距離: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}}$

内積: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$、なす角: $\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

解き方の手順

1. B の座標から A の座標を、成分ごとに引いて $\overrightarrow{AB}$ を求めます（負の座標はかっこをつけて）。
2. 3つの成分をそれぞれ2乗して足します。
3. その正の平方根が距離 AB です。根号の中が平方数なら整数にします。