数ベクトルと線形結合の練習問題

考え方

数を並べたベクトルの足し算・スカラー倍と、いくつかのベクトルの組み合わせ（線形結合）で目標を作る計算ができるようになります。栄養素の配合、ポートフォリオ、データの特徴量の扱いの基本です。

数ベクトル

数を並べた組 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$。$n$ 個の成分をもつものを $n$ 次元ベクトルという。

スカラー倍

ベクトルのすべての成分を同じ数倍すること。

線形結合

$s\boldsymbol{u} + t\boldsymbol{v}$ のように、ベクトルを数倍して足し合わせたもの。

食品 P 1袋に（たんぱく質, 食物繊維）が $(3, 1)$ g 含まれるとき、この組をベクトル $\boldsymbol{u} = (3, 1)$ と見ます。2袋なら $2\boldsymbol{u} = (6, 2)$、別の食品 $\boldsymbol{v}$ と合わせれば $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}$ です。足し算もスカラー倍も、成分ごとに計算します。

平面のベクトルは原点からの矢印で描けます。足し算は矢印をつなぐこと、スカラー倍は矢印を伸び縮み（負なら反対向き）させることです。成分が3つ以上になっても、計算のきまりは同じです。

目標 $\boldsymbol{w}$ を $s\boldsymbol{u} + t\boldsymbol{v}$ で作れるかは、成分ごとに等式を書くと $s$, $t$ の連立一次方程式になります。$\boldsymbol{u}$ と $\boldsymbol{v}$ が平行でなければ、平面のどんな $\boldsymbol{w}$ もただ1通りに作れます。

この連立方程式は、$\boldsymbol{u}$, $\boldsymbol{v}$ を列に並べた行列 $A$ を使って $A\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \boldsymbol{w}$ とも書けます。これが次の「行列」の単元につながります。

ポイント

$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$、$k(a_1, a_2) = (ka_1, ka_2)$

線形結合: $s\boldsymbol{u} + t\boldsymbol{v} = (su_1 + tv_1,\ su_2 + tv_2)$

$s\boldsymbol{u} + t\boldsymbol{v} = \boldsymbol{w} \iff \begin{cases} u_1s + v_1t = w_1 \\ u_2s + v_2t = w_2 \end{cases}$

解き方の手順

1. $s\boldsymbol{u} + t\boldsymbol{v} = \boldsymbol{w}$ を成分ごとに書き、$s$, $t$ の連立方程式にする。
2. 加減法で一方の文字を消して、もう一方を求める。
3. 求めた値を代入して、残りの文字を求める。
4. $s\boldsymbol{u} + t\boldsymbol{v}$ を計算し直して、$\boldsymbol{w}$ になるか確かめる。