二次曲線と媒介変数の練習問題

考え方

放物線・楕円・双曲線を「焦点からの距離」で決まる曲線として理解し、方程式から焦点の位置を読み取れるようになります。パラボラアンテナ、惑星の軌道、電波の届く時間の差で位置を求めるしくみなどに現れる形です。

焦点

二次曲線の形を決める基準の点です。

放物線

焦点と、準線とよばれる直線から、等しい距離にある点の集まりです。

楕円

2つの焦点からの距離の和が一定である点の集まりです。

双曲線

2つの焦点からの距離の差が一定である点の集まりです。

放物線・楕円・双曲線は、円すいを平面で切った切り口に現れるので、まとめて二次曲線とよばれます。どれも「焦点」からの距離で決まる曲線です。

放物線は、焦点 $(0, p)$ と準線 $y = -p$ から等しい距離にある点の集まりで、方程式は $x^{2} = 4py$ です。$x^{2} = 8y$ なら $4p = 8$ より $p = 2$ で、焦点は $(0, 2)$ です。p は、y の係数 4p から読み取ります。

楕円 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > b > 0$）は、焦点 $(\pm c, 0)$ からの距離の和が $2a$ の点の集まりで、$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ です（下の図）。双曲線 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ は距離の差が $2a$ で、$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ です。c は $a - b$ や $a + b$ ではなく、$c^{2}$ の正の平方根です。

曲線は、別の変数 t を使って表すこともできます（媒介変数表示）。例えば円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ は $x = r\cos t$、$y = r\sin t$、楕円は $x = a\cos t$、$y = b\sin t$ です。点を原点からの距離 r と角 θ で表す極座標 (r, θ) もあり、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ の関係があります。

ポイント

放物線 $x^{2} = 4py$: 焦点 $(0, p)$、準線 $y = -p$（$y^{2} = 4px$ なら焦点 $(p, 0)$）

楕円 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > b > 0$）: 焦点 $(\pm c, 0)$、$c^{2} = a^{2} - b^{2}$

双曲線 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$: 焦点 $(\pm c, 0)$、$c^{2} = a^{2} + b^{2}$、漸近線 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$

媒介変数表示: 楕円は $x = a\cos t$、$y = b\sin t$

解き方の手順

1. 式の形から、放物線（2乗が片方だけ）、楕円（2乗の和 = 1）、双曲線（2乗の差 = 1）を見分けます。
2. 放物線なら $x^{2} = 4py$ と見比べて p を求めます。楕円・双曲線なら、$x^{2}$ の分母から $a^{2}$、$y^{2}$ の分母から $b^{2}$ を読み取ります。
3. 楕円は $c^{2} = a^{2} - b^{2}$、双曲線は $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ を計算し、正の平方根で c を求めます（根号はできるだけ簡単な形に）。
4. 焦点の座標を $(c, 0)$ や $(0, p)$ の形で答えます。