関数 y = ax²の練習問題

考え方

$y = ax^{2}$（y が x の2乗に比例する関数）のグラフの形と、変化の割合が一定でないことが分かるようになります。物が落ちる距離、ブレーキをかけてから止まるまでの距離、加速していく累計売上など、「だんだん速く増える」量を表します。

2乗に比例する

$y = ax^{2}$ の関係。x が2倍、3倍になると、y は4倍、9倍になります。

放物線

$y = ax^{2}$ のグラフの曲線。原点を通り、y 軸について左右対称です。

変化の割合

（y の増加量）÷（x の増加量）。x が 1 増えるあたり、y が平均でどれだけ増えるかを表します。

$y = 2x^{2}$ で x を 1, 2, 3 と増やすと、y は 2, 8, 18 です。x が2倍になると y は $2^{2} = 4$ 倍、3倍になると $3^{2} = 9$ 倍になります。

グラフは原点を通るなめらかな曲線（放物線）です。a が正なら上に開いた谷の形、a が負なら下に開いた山の形で、y 軸について左右対称です。

変化の割合は、区間によって変わります。$y = 2x^{2}$ で x が 1 から 2 なら $(8 - 2) \div 1 = 6$、2 から 3 なら $(18 - 8) \div 1 = 10$ です。一次関数のように一定ではなく、係数 a とも違います。

x が p から q まで増えるときの変化の割合は、計算すると $a(p + q)$ になります（$\frac{aq^{2} - ap^{2}}{q - p} = a(p + q)$）。答えの確かめに使えます。

ポイント

$y = ax^{2}$: x が n 倍になると y は $n^{2}$ 倍

変化の割合 $= \dfrac{y \text{ の増加量}}{x \text{ の増加量}}$（$y = ax^{2}$ では一定ではない）

x が p から q まで増えるときの変化の割合 $= a(p + q)$

解き方の手順

1. x のはじめの値 p を代入して、y の値 $ap^{2}$ を求めます。
2. x のおわりの値 q を代入して、y の値 $aq^{2}$ を求めます。
3. （y の増加量）÷（x の増加量）を計算します。
4. $a(p + q)$ でも同じ値になるか確かめます。