微分係数と導関数の練習問題

考え方

「その瞬間にどれくらいの速さで変化しているか」を表す微分係数・導関数を理解し、多項式を微分できるようになります。速度、限界費用、成長率など、変化の速さを扱うあらゆる場面の基本です。

平均変化率

x が a から b まで変わるときの「y の変化 ÷ x の変化」です。グラフの2点を結ぶ直線の傾きです。

微分係数 $f'(a)$

$x = a$ での瞬間の変化の割合です。グラフの点 $(a, f(a))$ での接線の傾きです。

導関数 $f'(x)$

各 x に、その点での微分係数を対応させた関数です。導関数を求めることを「微分する」といいます。

車が 2 時間で 120 km 進めば、平均の速さは時速 60 km です。グラフでいえば2点を結んだ直線の傾きで、これを平均変化率といいます。しかし、スピードメーターが示す「その瞬間の速さ」は、平均変化率だけでは分かりません。

そこで、区間の幅 h をどんどん 0 に近づけたときの平均変化率の行き先を考えます。$f(x) = x^{2}$ なら、$x = a$ から $a + h$ までの平均変化率は $\frac{(a + h)^{2} - a^{2}}{h} = 2a + h$ で、h を 0 に近づけると $2a$ になります。これが $x = a$ での微分係数 $f'(a)$ で、グラフの接線の傾きを表します。

同じ計算を $x^{n}$ ですると、導関数は $nx^{n-1}$ になります。「指数を前に出して、指数を 1 減らす」と覚えましょう。定数は変化しないので、微分すると 0 です。

多項式は、項ごとに微分して足せば導関数になります。係数はそのまま残るので、たとえば $(5x^{2})' = 5 \times 2x = 10x$ です。

ポイント

平均変化率 $= \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$

微分係数 $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$

$(x^{n})' = nx^{n-1}$、定数の微分は 0

$\{kf(x) + lg(x)\}' = kf'(x) + lg'(x)$（項ごとに微分してよい）

解き方の手順

1. 式を項ごとに分けます。
2. $ax^{n}$ の項は $a \times nx^{n-1}$ にします（係数に指数をかけ、指数を 1 減らす）。
3. x の1次の項は係数だけが残り、定数項は 0 になります。
4. すべて足して $f'(x)$ を書きます。