不定積分・定積分と面積の練習問題

考え方

微分の逆の計算である積分を使い、多項式の不定積分・定積分を計算して、グラフで囲まれた部分の面積を求められるようになります。速さから移動距離を、変化の割合から全体の増加量を求めるときに使います。

不定積分（原始関数）

微分すると $f(x)$ になる関数 $F(x)$ です。$\int f(x)\,dx$ と書きます。

積分定数 C

定数は微分すると消えるので、原始関数には「+ C」の分だけ自由があります。

定積分

$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$。グラフと x 軸の間の面積（x 軸より下は負として数える）を表します。

積分は微分の逆の計算です。$(x^{3})' = 3x^{2}$ なので、$x^{2}$ の原始関数は $\frac{x^{3}}{3}$ です。一般に $x^{n}$ の原始関数は、指数を 1 増やしてその数でわった $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ になります。

$\frac{x^{3}}{3} + 5$ を微分しても $x^{2}$ になるように、定数の分だけ答えに自由があります。そこで不定積分には積分定数 C を付けて、$\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C$ と書きます。

定積分 $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ は、原始関数 F を使って「上端の値 − 下端の値」$F(b) - F(a)$ で計算します。引き算で C は消えるので、C は付けません。$\left[F(x)\right]_{a}^{b}$ と書いてから代入すると、順番を間違えにくくなります。

$f(x) \ge 0$ の区間では、定積分はグラフと x 軸の間の面積になります。たとえば速さのグラフの下の面積は、進んだ距離です。x 軸より下にある部分の定積分は負になるので、面積を求めるときは符号に注意します。

ポイント

$\displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n = 0, 1, 2, \ldots$）、$\displaystyle\int k\,dx = kx + C$

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

$a \le x \le b$ で $f(x) \ge 0$ なら、グラフと x 軸の間の面積は $S = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

解き方の手順

1. 項ごとに $x^{n}$ を $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ にして、原始関数 $F(x)$ を求めます（定数 k は kx）。
2. 不定積分なら、最後に「+ C」を付けます。
3. 定積分なら、F(上端) と F(下端) を計算し、F(上端) − F(下端) を求めます。負の数はかっこに入れて代入します。
4. 分数は通分してまとめ、約分します。$F(x)$ を微分してもとの式に戻るか確かめると安心です。