確率空間とベイズの定理の練習問題

考え方

条件付き確率と独立性を扱い、「検査で陽性だったとき、本当に病気である確率」のような逆向きの確率をベイズの定理で求められるようになります。迷惑メールフィルタ、医療検査、不正検知の結果を正しく読むための考え方です。

条件付き確率 $P(A \mid B)$

$B$ が起きたと分かったときに、$A$ も起きている確率。$\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$。

独立

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つこと。一方が起きても、もう一方の確率が変わらない。

事前確率・事後確率

データを見る前の確率 $P(A)$ と、データ $B$ を見たあとの確率 $P(A \mid B)$。

確率は、起こりうること全体に対する割合です。条件付き確率 $P(A \mid B)$ は、全体を「$B$ が起きた場合」だけに絞ったときの $A$ の割合です。だから分母は $P(B)$ になります。

$P(A \mid B)$ と $P(B \mid A)$ は別物です。「迷惑メールのとき検出される確率」が 95% でも、「検出されたメールが迷惑メールである確率」が 95% とは限りません。迷惑メールがもともと少なければ、検出されたものの中に誤検出の通常メールが多く混じるからです。

ベイズの定理は、この向きを入れかえる式です。検出されるのは「迷惑メールで検出」と「通常メールで誤検出」の2通りなので、それぞれ（割合）×（検出される確率）で求めて足したものが $P(\text{検出})$ です。そのうち迷惑メールの分が占める割合が、求める確率です。

樹形図を描くか、全体を 10,000 通のような具体的な数に置きかえて数えると、取り違えを防げます。

ポイント

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$、$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$

$P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(\bar{A})P(B \mid \bar{A})$（$\bar{A}$ は「$A$ でない」）

ベイズの定理: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A)P(B \mid A)}{P(A)P(B \mid A) + P(\bar{A})P(B \mid \bar{A})}$

独立: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

解き方の手順

1. 「何が分かったうえでの確率か」を確かめ、求めるものを $P(A \mid B)$ の形で書く。
2. $A$ で、かつ $B$ が起きる割合 $P(A) \times P(B \mid A)$ を計算する。
3. $A$ でないのに $B$ が起きる割合 $P(\bar{A}) \times P(B \mid \bar{A})$ を計算し、2つを足して $P(B)$ を求める。
4. $P(A) \times P(B \mid A)$ を $P(B)$ で割り、既約分数で答える。