確率の計算の練習問題

考え方

「少なくとも1回当たる確率」のような確率を、正しく計算できるようになります。キャンペーンの当選確率、不良品が混じる確率、故障が起こる確率の見積もりなどで使います。

余事象 $\overline{A}$

「A が起こらない」という事象です。$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ です。

独立

一方の結果が、もう一方の確率に影響しないことです。サイコロを何回も振る、引いたくじを毎回戻す、などです。

排反

2つの事象が同時には起こらないことです。

条件付き確率 $P_A(B)$

A が起こったと分かっているときに、B が起こる確率です。

確率は「その事柄が起こる場合の数 ÷ 全部の場合の数」です（どの場合も同じ程度に起こるとき）。サイコロを2回振ると、目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通りあります。

独立な試行が続けて起こる確率は、それぞれの確率のかけ算です。2回とも 6 以外が出る確率は $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$ です。一方、同時に起こらない（排反な）事柄の「どちらか」が起こる確率は足し算です。

「少なくとも1回 6 が出る」は、「1回目だけ」「2回目だけ」「両方」と場合分けが多くなります。そこで反対の「1回も 6 が出ない」を考え、1 から引きます。$1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ です。「少なくとも〜」は余事象から考えるのが基本です。

確率 p で起こることを n 回くり返して、ちょうど r 回起こる確率は ${}_n\mathrm{C}_r\,p^{r}(1 - p)^{n - r}$ です（反復試行）。また、A が起こったときに B が起こる条件付き確率は $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ で、全体を「A が起こった場合」にしぼって考えます。

ポイント

余事象: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$（「少なくとも1回」= 1 −「1回も起こらない」）

独立な試行が続けて起こる確率は積、排反な事象のどちらかが起こる確率は和

反復試行: ${}_n\mathrm{C}_r\,p^{r}(1 - p)^{n - r}$

条件付き確率: $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

解き方の手順

1. 「少なくとも1回」とあれば、余事象「1回も起こらない」を考えます。
2. 1回で起こらない確率 $1 - p$ を求めます。
3. 各回は独立なので、n 回とも起こらない確率は $(1 - p)^{n}$ とかけ算します。
4. 1 からそれを引き、分数は約分して答えます。