期待値の練習問題

考え方

くじや投資のように結果が確率で決まるとき、「1回あたり平均していくら得られるか」（期待値）を計算できるようになります。参加費に見合うか、どちらの施策が有利かを判断するときの物差しになります。

期待値

（起こりうる値 × その確率）をすべて足したものです。何度もくり返したときの1回あたりの平均になります。

確率分布

起こりうる値と、その確率を表にまとめたものです。確率の合計は 1 になります。

100本のくじに 1,000円が 1本、100円が 10本入っているとします。全部引くと賞金の合計は $1000 \times 1 + 100 \times 10 = 2000$ 円なので、1本あたりの平均は $2000 \div 100 = 20$ 円です。これが1本引くときの期待値です。

同じ計算を確率で書くと、$1000 \times \frac{1}{100} + 100 \times \frac{10}{100} + 0 \times \frac{89}{100} = 20$ 円です。つまり期待値は「値 × 確率」をすべて足したもので、確率で重みをつけた平均です。

賞金の種類（1,000円・100円・0円）をそのまま平均するのは誤りです。当たりやすさが違うので、本数（確率）で重みをつける必要があります。はずれ（0円）も含めて、確率の合計が 1 になるか確かめましょう。

期待値は意思決定の物差しになります。参加費 30円のくじの期待値が 20円なら、くり返すほど平均して損をします。ただし1回ごとの結果はばらつくので、リスクの大きさもあわせて考えることがあります。

ポイント

期待値 $E = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \cdots + x_{n}p_{n}$（値 × 確率 の合計）

$p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n} = 1$（はずれも含める）

くじなら、期待値 = 賞金の総額 ÷ くじの本数

解き方の手順

1. 起こりうる値（金額）を、はずれの 0円も含めてすべて書き出します。
2. それぞれの確率を「本数 ÷ 全体の本数」で求め、合計が 1 になるか確かめます。
3. 値 × 確率 を計算します。
4. すべて足したものが期待値です。参加費などと比べて判断します。