確率変数と確率分布の練習問題

考え方

くじの賞金や、メールを開封する人数のように「結果によって値が変わる量」を確率変数として扱い、平均的な値（期待値）とばらつき（標準偏差）を計算できるようになります。需要の見込みや品質管理の土台になる考え方です。

確率変数 X

試行の結果によって値が決まる数です。例: サイコロの目、100人のうちメールを開封する人数。

確率分布

X のとる値と、それぞれの確率を対応させたものです。表やグラフで表します。

二項分布 $B(n, p)$

成功する確率が p の試行を、独立に n 回くり返したときの、成功の回数の分布です。

分散・標準偏差

期待値からのずれの大きさです。分散は「ずれの2乗」の平均で、その正の平方根が標準偏差です。

サイコロの出る目や、100人に送ったメールの開封数のように、結果によって値が決まる数を確率変数といい、X などで表します。X のとる値と確率の対応が確率分布です。

期待値 $E(X)$ は「値 × 確率」をすべて足したもので、何度もくり返したときの平均にあたります。分散 $V(X)$ は、期待値からのずれの2乗の期待値で、ばらつきの大きさを表します。分散の正の平方根が標準偏差 $\sigma(X)$ で、単位がもとの X と同じになります。

「開封する・しない」のような2通りの結果の試行を、同じ確率 p で独立に n 回くり返したとき、成功の回数 X は二項分布 $B(n, p)$ に従います。X = k となる確率は ${}_{n}\mathrm{C}_{k}\,p^{k}(1 - p)^{n-k}$ です。

二項分布では、確率分布の表を作らなくても、期待値は $np$、分散は $np(1 - p)$ で求められます。1回の試行の期待値 p と分散 $p(1 - p)$ が、独立な n 回分だけ足し合わさるからです。最後に、聞かれているのが分散か標準偏差かを確かめましょう。

ポイント

期待値: $E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

分散: $V(X) = E\big((X - m)^{2}\big) = E(X^{2}) - m^{2}$（$m = E(X)$）、標準偏差: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

二項分布 $B(n, p)$: $E(X) = np$、$V(X) = np(1 - p)$

解き方の手順

1. 何を X とするか（何の回数か）を決めます。
2. 「成功の確率が p の同じ試行を、独立に n 回」なら二項分布 $B(n, p)$ です。n と p を読み取ります。
3. 期待値 $np$、分散 $np(1 - p)$ を計算します。
4. 標準偏差を聞かれたら、分散の正の平方根をとります。