確率変数・期待値・分散・共分散の練習問題

考え方

売れる個数や来店回数のように確率的に値が決まる量（確率変数）について、平均（期待値）とばらつき（分散・標準偏差）、2つの量の連動（共分散）を計算できるようになります。在庫の決め方、リスクの評価、ポートフォリオの分析に使います。

確率変数 $X$

確率的に値が決まる量。とりうる値と、その確率の表（確率分布）で表す。

期待値 $E[X]$

「値 × 確率」の和。長く続けたときの平均。

分散 $V[X]$・標準偏差 $\sigma(X)$

期待値からのずれの2乗の期待値と、その正の平方根。ばらつきの大きさ。

共分散 $\mathrm{Cov}(X, Y)$

$X$ と $Y$ が一緒に大きくなる傾向。$E[XY] - E[X]E[Y]$。

1日に売れる数 $X$ が、0個（確率 0.2）、1個（0.5）、2個（0.3）なら、期待値は $0 \times 0.2 + 1 \times 0.5 + 2 \times 0.3 = 1.1$ 個です。長い期間で平均すると、1日あたり約 1.1 個売れるという意味です。

分散は「期待値からのずれの2乗」の期待値です。計算には $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$（2乗の平均 − 平均の2乗）が便利です。標準偏差は分散の正の平方根で、単位が元の量（個）にそろいます。

期待値は足し算と定数倍をそのまま通します（$E[aX + b] = aE[X] + b$、$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$）。一方、分散は $V[aX + b] = a^2V[X]$ で、定数 $b$ を足してもばらつきは変わりません。

2つの確率変数の積の期待値 $E[XY]$ は、同時分布の表のマスごとに（$x \times y \times$ 確率）を足して求めます。$E[XY] = E[X]E[Y]$ が使えるのは、$X$ と $Y$ が独立なとき（共分散が 0 のとき）だけです。

ポイント

$E[X] = \sum x\,P(X = x)$、$E[X^2] = \sum x^2\,P(X = x)$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$、$\sigma(X) = \sqrt{V[X]}$

$E[aX + b] = aE[X] + b$、$V[aX + b] = a^2V[X]$

$E[XY] = \sum xy\,P(X = x, Y = y)$、$\mathrm{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$

解き方の手順

1. 表から、期待値 $E[X]$ を「値 × 確率」の和で求める。
2. 同じように $E[X^2]$（値の2乗 × 確率 の和）を求める。
3. $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ を計算し、正の平方根をとって標準偏差にする。
4. 2つの変数の積なら、同時分布の表のマスごとに $x \times y \times$ 確率 を足す（独立でなければ $E[X]E[Y]$ にはならない）。