代表的な確率分布の練習問題

考え方

二項分布・ポアソン分布・指数分布・正規分布の形と使いどころが分かり、二項分布で「$n$ 人中ちょうど $k$ 人」の確率を計算できるようになります。クーポンの利用人数、窓口への到着数、待ち時間、測定誤差などのモデルです。

二項分布 $B(n, p)$

成功確率 $p$ の試行を独立に $n$ 回行ったときの、成功回数の分布。

ポアソン分布

一定時間に平均 $\lambda$ 回起こる、まれな出来事の回数の分布（来店数・問い合わせ数など）。

指数分布

次の出来事が起こるまでの待ち時間の分布。

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$

平均 $\mu$ を中心に左右対称な釣り鐘型の分布。測定誤差や、多くの要因の和に現れる。

二項分布は「使う／使わない」のような2択を、互いに影響せずに $n$ 回くり返したときの「使う回数」の分布です。特定の $k$ 人が使い、残りの $n - k$ 人が使わない確率は $p^k(1 - p)^{n - k}$ です。

ただし「だれが使うか」の選び方が ${}_n\mathrm{C}_k$ 通りあるので、それをかけます。選び方をかけ忘れると、「特定の $k$ 人が使う確率」のままになってしまいます。

平均と分散は、二項分布なら $np$ と $np(1 - p)$、ポアソン分布ならどちらも $\lambda$ です。$n$ が大きく $p$ が小さいとき、二項分布は $\lambda = np$ のポアソン分布で近似でき、$n$ が大きいときは正規分布でも近似できます。

時間や重さのような連続的な量は、確率密度関数 $f(x)$ のグラフの面積で確率を表します。指数分布は $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（平均 $\dfrac{1}{\lambda}$）、正規分布は $\mu \pm 1.96\sigma$ の範囲に約 95% が入ります。

ポイント

二項分布: $P(X = k) = {}_n\mathrm{C}_k\,p^k(1 - p)^{n - k}$、$E[X] = np$、$V[X] = np(1 - p)$

ポアソン分布: $P(X = k) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$、$E[X] = V[X] = \lambda$

指数分布: $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（$x \ge 0$）、$E[X] = \dfrac{1}{\lambda}$

正規分布: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う

解き方の手順

1. 「同じ確率で、独立にくり返す2択」かを確かめ、試行回数 $n$、成功確率 $p$、成功回数 $k$ を読み取る。
2. 選び方 ${}_n\mathrm{C}_k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$ を計算する。
3. 特定の $k$ 回が成功し、残りが失敗する確率 $p^k(1 - p)^{n - k}$ を計算する。
4. 選び方の数とかけ合わせ、既約分数で答える。