大数の法則と中心極限定理の練習問題

考え方

たくさん集めたデータの平均が真の平均の近くに集まり（大数の法則）、その分布が正規分布で近似できる（中心極限定理）ことを理解し、標本平均を標準化して評価できるようになります。抜き取り検査、世論調査、A/B テストの土台です。

標本平均 $\bar{X}$

無作為に取り出した $n$ 個の値の平均。取り出し方によって変わる確率変数。

標準誤差

標本平均の標準偏差 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

標準化

（値 − 期待値）÷ 標準偏差 で、平均 0・標準偏差 1 の尺度にそろえること。

コインを 10 回投げると表の割合は 0.3 や 0.7 にもなりますが、1 万回投げればほぼ 0.5 になります。サンプルを増やすほど標本平均が真の平均 $\mu$ に近づく、これが大数の法則です。

標本平均 $\bar{X}$ の期待値は母平均 $\mu$ と同じで、分散は $\dfrac{\sigma^2}{n}$ です。$n$ 個の平均をとると、ばらつきが互いに打ち消し合い、標準偏差は $\sqrt{n}$ 分の1になります（$n$ 分の1ではありません）。

中心極限定理によると、元の分布が正規分布でなくても、$n$ が大きければ $\bar{X}$ の分布は正規分布 $N\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ で近似できます。だから、どんな分布の平均でも、正規分布の表で確率を見積もれます。

標準化した $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ は、標本平均のずれが標準誤差の何個分かを表します。$|z| > 1.96$ なら、正常でも起こる確率が 5% 未満の大きなずれと判断できます。

ポイント

$E[\bar{X}] = \mu$、$V[\bar{X}] = \dfrac{\sigma^2}{n}$、$\sigma(\bar{X}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

中心極限定理: $n$ が大きいとき、$\bar{X}$ は近似的に $N\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ に従う

標準化: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$。$P(|Z| \le 1.96) \approx 0.95$

解き方の手順

1. 母平均 $\mu$、母標準偏差 $\sigma$、標本の大きさ $n$、標本平均 $\bar{x}$ を読み取る。
2. 標準誤差 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を計算する（$n$ ではなく $\sqrt{n}$ で割る）。
3. $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ を計算する（符号はそのまま残す）。
4. $|z|$ が 1.96 を超えるかどうかで、偶然の範囲かどうかを判断する。