推定（最尤法・信頼区間）の練習問題

考え方

一部のデータ（標本）から全体（母集団）の平均や比率を、1つの値（点推定）や幅のある区間（信頼区間）で推定できるようになります。顧客調査の平均単価、支持率、不良率の見積もりで、結果の「誤差の幅」を示すときに使います。

母集団・標本

知りたい全体と、そこから無作為に取り出した一部。

点推定

母平均を標本平均 $\bar{x}$ のように、1つの値で推定すること。

最尤推定

観測したデータが最も起こりやすくなる（尤度が最大になる）パラメータの値を推定値とする方法。

95% 信頼区間

同じ方法で何度も標本をとって区間を作ると、そのうち約 95% が真の値を含むような区間。

全員を調べられないとき、無作為に選んだ $n$ 人の平均 $\bar{x}$ で母平均 $\mu$ を推定します。ただし $\bar{x}$ は選ばれた人によって揺れるので、「どれくらいの幅で信じてよいか」も一緒に示します。

中心極限定理より、$\bar{X}$ はおよそ $N\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ に従い、$\mu \pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ の範囲に約 95% の確率で入ります。これを裏返して、$\bar{x} \pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を母平均の 95% 信頼区間とします。

与えられているのが母分散 $\sigma^2$ なら、平方根をとって標準偏差 $\sigma$ に直してから使います。標本を4倍に増やすと、区間の幅は $\sqrt{4} = 2$ 分の1になります。

最尤推定は「このデータが出る確率がいちばん高くなるのは、パラメータがいくつのときか」を考える方法です。たとえば 100 回中 30 回成功なら、成功確率の最尤推定値は $\dfrac{30}{100} = 0.3$ です。

ポイント

母平均の 95% 信頼区間: $\bar{x} - 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

母比率の 95% 信頼区間: $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

最尤推定: 尤度 $L(\theta) = P(\text{データ} \mid \theta)$ を最大にする $\theta$（二項分布なら $\hat{p} = \dfrac{k}{n}$）

解き方の手順

1. 母分散 $\sigma^2$ が与えられていたら、正の平方根をとって $\sigma$ にする。
2. 標準誤差 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を計算する。
3. $1.96 \times$ 標準誤差 で、区間の片側の幅を求める。
4. $\bar{x}$ から引いたものが下限、足したものが上限。（下限, 上限）の形で答える。