仮説検定（t 検定・カイ二乗検定）の練習問題

考え方

「新しいデザインで滞在時間は変わったか」のような問いを、帰無仮説・検定統計量・p 値・有意水準の手順で判断し、結果を正しく解釈できるようになります。A/B テスト、品質管理、アンケートの比較で使います。

帰無仮説 $H_0$

「差はない・変わらない」という、否定できるかを調べる仮説。対立仮説 $H_1$ は「差がある」。

検定統計量

データのずれが、偶然のばらつき（標準誤差）の何個分かを表す値（$z$ や $t$）。

p 値

帰無仮説が正しいと仮定したとき、今回以上に極端なデータが偶然に出る確率。

有意水準 $\alpha$

「これより小さい確率なら偶然とは考えにくい」とあらかじめ決める基準（ふつう 5%）。

検定は背理法に似ています。まず「変わっていない（$\mu = \mu_0$）」と仮定し、そのもとで今回のデータがどれくらい珍しいかを調べます。とても珍しければ、仮定のほうを疑って棄却します。

珍しさは、検定統計量 $z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ で測ります。帰無仮説のもとで $z$ はほぼ標準正規分布に従うので、両側検定・有意水準 5% なら $|z| > 1.96$ で棄却します。

p 値は「帰無仮説が正しい確率」でも「効果の大きさ」でもありません。帰無仮説が正しいとしたら、これ以上に極端なデータが出る確率です。棄却できなくても、「差がない」と証明されたわけではありません。

母標準偏差が分からず標本から推定するときは $t$ 検定、カテゴリの度数の偏りを調べるときはカイ二乗検定を使います。考え方の流れは同じです。

ポイント

$z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$（両側検定・有意水準 5% では $|z| > 1.96$ で棄却）

$t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$（$s$ は標本の標準偏差。自由度 $n - 1$ の $t$ 分布で判断）

$\chi^2 = \displaystyle\sum\frac{(O - E)^2}{E}$（$O$: 観測度数、$E$: 期待度数）

解き方の手順

1. 帰無仮説 $H_0$: $\mu = \mu_0$ と、対立仮説 $H_1$: $\mu \neq \mu_0$ を立てる。
2. 標準誤差 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を計算する。
3. 検定統計量 $z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ を計算する（符号はそのまま。分数で答えてよい）。
4. $|z|$ と 1.96 を比べて、棄却するかを決める。p 値は「$H_0$ のもとで今回以上に極端な結果が出る確率」と読む。