統計的な推測の練習問題

考え方

一部を調べた結果（標本）から、全体（母集団）の平均がどの範囲にありそうかを「信頼区間」で示せるようになります。世論調査、製品の抜き取り検査、A/B テストの結果を読むときの基本です。

母集団・標本

調べたい全体が母集団、そこから無作為に選んで実際に調べた一部が標本です。

母平均 m・標本平均 $\bar{X}$

母集団全体の平均が m（ふつうはわかりません）、標本の平均が $\bar{X}$ です。

信頼度 95% の信頼区間

同じ方法で何度も標本をとって区間を作ると、そのうち約 95% が母平均 m をふくむ、という区間です。

仮説検定

「差はない」などの仮説を立て、実際の結果がその仮説のもとでどれくらい起こりにくいかで、仮説を捨てるかどうかを判断する方法です。

全部を調べられないときは、無作為に選んだ標本の平均 $\bar{X}$ から母平均 m を推測します。ただし $\bar{X}$ は標本の選び方で少しずつ変わるので、「m はこの範囲にありそう」と幅をつけて答えます。

標本の大きさ n が大きいとき、標本平均 $\bar{X}$ はおよそ正規分布 $N\left(m, \frac{\sigma^{2}}{n}\right)$ に従います。つまり $\bar{X}$ のばらつき（標準偏差）は $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で、1つ1つのデータのばらつき σ より小さくなります。n を 4 倍にすると、ばらつきは半分です。

標準正規分布では、$-1.96 \le Z \le 1.96$ の範囲に 95% が入ります（下の図）。そこで、$\bar{X}$ から左右に $1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ずつ広げた範囲を、信頼度 95% の信頼区間とします。σ を n ではなく $\sqrt{n}$ でわるところがポイントです。

仮説検定では、「差はない」という仮説のもとで、実際の結果がどれくらい珍しいかを調べます。起こる確率が 5% 未満の珍しい結果なら、仮説は正しくなかったと判断します（有意水準 5% で棄却する、といいます）。

ポイント

標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差（標準誤差）: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

信頼度 95% の信頼区間: $\bar{X} - 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{X} + 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

有意水準 5% の検定（両側）: 仮説のもとで標準化した値が $|z| \ge 1.96$ なら、仮説を棄却する

解き方の手順

1. 標本の大きさ n、標本平均 $\bar{X}$、母標準偏差 σ を読み取ります。
2. $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を計算します（n ではなく $\sqrt{n}$ でわります）。
3. それに 1.96 をかけて、区間の片側の幅を求めます。
4. $\bar{X}$ から引いた値を下限、足した値を上限として、「下限 ≦ m ≦ 上限」の形で答えます（指示された桁まで）。