正規分布の練習問題

考え方

身長や製品の重さのように「平均の近くに多く、離れるほど少ない」データを正規分布として扱い、平均から標準偏差いくつ分離れているか（z の値）を求めて、割合を見積もれるようになります。品質管理や偏差値の考え方の土台です。

正規分布 $N(m, \sigma^{2})$

平均 m を中心に左右対称な、釣り鐘の形をした分布です。$\sigma^{2}$ は分散です。

標準化

$z = \frac{X - m}{\sigma}$ と変換して、「平均から標準偏差何個分か」で表すことです。

標準正規分布 $N(0, 1)$

平均 0、標準偏差 1 の正規分布です。標準化した値はこれに従います。

正規分布表

標準正規分布で、0 から z までの範囲に入る確率 $p(z)$ をまとめた表です。

正規分布は、平均 m を中心に左右対称な釣り鐘の形をした分布で、広がり具合は標準偏差 σ で決まります。グラフと横軸の間の面積が確率を表し、全体の面積は 1 です。

平均や σ が違っても、「平均から σ 何個分離れているか」で測り直すと、どれも同じ形になります。これが標準化 $z = \frac{X - m}{\sigma}$ です。z が正なら平均より大きく、負なら平均より小さいことを表します。

問題文では分散 $\sigma^{2}$ が与えられることがよくあります。その場合は、まず平方根をとって標準偏差 σ に直してからわります。分散のままでわると、z の値が大きくずれてしまいます。

z から確率を求めるときは正規分布表を使います。例えば $p(1) = 0.3413$ なので、平均 ± 1σ の範囲に入る確率は $2 \times 0.3413 = 0.6826$、およそ 68% です（下の図）。左右対称であることを使い、足し引きでいろいろな範囲の確率を求めます。

ポイント

標準化: $z = \dfrac{X - m}{\sigma}$（σ は標準偏差 = 分散の正の平方根）

X が $N(m, \sigma^{2})$ に従うとき、$Z = \dfrac{X - m}{\sigma}$ は $N(0, 1)$ に従う

正規分布表: $P(0 \le Z \le z) = p(z)$。$p(1) = 0.3413$、$p(1.5) = 0.4332$、$p(2) = 0.4772$

解き方の手順

1. 平均 m と、分散（または標準偏差）を読み取ります。分散なら平方根をとって σ にします。
2. 平均との差 $X - m$ を計算します（平均より小さければ負になります）。
3. 差を σ でわって z を求めます。
4. 確率を聞かれたら、正規分布表で $p(z)$ を読み、左右対称を使って 0.5 との足し引きをします。