データの分析（分散・相関）の練習問題

考え方

平均だけでは分からない「ばらつき」を、分散・標準偏差という数値で表せるようになります。製品の品質管理、売上の安定性、テストの点数の散らばりなどを比べるときに使います。

偏差

各データ − 平均。平均からどれだけ離れているかを表します（プラスもマイナスもあります）。

分散

偏差を2乗した値の平均です。ばらつきの大きさを表します。

標準偏差

分散の正の平方根です。もとのデータと同じ単位で、ばらつきを表します。

相関係数

2つの量の直線的な関係の強さを、−1 から 1 までの数で表したものです。

平均が同じ 50 g でも、48 g と 52 g ばかりの商品と、40 g と 60 g が混じる商品では、品質の安定度が違います。この「平均からの離れ具合」を1つの数で表すのが、分散と標準偏差です。

まず各データから平均を引いて偏差を出します。偏差をそのまま足すと、プラスとマイナスが打ち消し合って必ず 0 になってしまいます。そこで偏差を2乗してから平均したものを分散とします。

分散は2乗しているので、単位も g² のように2乗になり、大きさの感覚がつかみにくくなります。そこで分散の正の平方根をとったものが標準偏差で、もとのデータと同じ単位（g）になります。「標準偏差を求める」問題で分散を答えないよう注意しましょう。

2つの量の関係は、散布図（点をばらまいたグラフ）と相関係数 r で表します。r が 1 に近いほど右上がり、−1 に近いほど右下がりの直線に近い関係です。ただし、相関があっても、原因と結果の関係があるとは限りません。

ポイント

偏差 = データ − 平均

分散 $s^{2} = \dfrac{(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \cdots + (x_{n} - \bar{x})^{2}}{n}$（$\bar{x}$ は平均）

標準偏差 $s = \sqrt{s^{2}}$（分散の正の平方根。もとのデータと同じ単位）

相関係数 $r = \dfrac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}$（$-1 \le r \le 1$。$s_{xy}$ は共分散）

解き方の手順

1. データの合計を個数でわって、平均を求めます。
2. 各データから平均を引いて、偏差を求めます（偏差の合計が 0 になるか確かめると安心です）。
3. 偏差を2乗して合計し、個数でわって分散を求めます。
4. 分散の正の平方根をとって、標準偏差を答えます。単位はもとのデータと同じです。