場合の数（順列・組合せ）の練習問題

考え方

「何通りあるか」を、書き出さずに計算で数えられるようになります。担当者の選び方、発表順の決め方、パスワードの組み合わせの数などを見積もるときに使います。

積の法則

A の決め方が m 通りあり、そのそれぞれに B の決め方が n 通りあれば、合わせて $m \times n$ 通りです。

順列 ${}_n\mathrm{P}_r$

n 個から r 個を選んで、順番に並べる方法の数です。

組合せ ${}_n\mathrm{C}_r$

n 個から r 個を選ぶだけで、順番を区別しない方法の数です。

階乗 $n!$

$n! = n \times (n - 1) \times \cdots \times 2 \times 1$。n 個すべてを並べる方法の数です。

5人から1番目と2番目の発表者を決めるとき、1番目は5人から選べ、そのそれぞれに2番目は残りの4人から選べます。よって $5 \times 4 = 20$ 通りです。このように、続けて決めるときは場合の数をかけ算します（積の法則）。

n 個から r 個を選んで並べる数を順列 ${}_n\mathrm{P}_r$ といい、n から1ずつ小さい数を r 個かけて求めます。${}_5\mathrm{P}_2 = 5 \times 4 = 20$ です。

一方、5人から担当者を2人選ぶだけなら、「A さんと B さん」と「B さんと A さん」は同じ選び方です。順列では同じ2人の組が $2! = 2$ 回ずつ数えられているので、2 でわって $20 \div 2 = 10$ 通りになります。これが組合せ ${}_5\mathrm{C}_2$ です。

順列か組合せかは、「選んだあと、順番や役割を区別するか」で決まります。リーダーと副リーダー、1番目と2番目のように役割が違えば順列、ただのメンバーなら組合せです。

ポイント

積の法則: m 通り × n 通り。和の法則（同時に起こらない場合を合わせる）: m 通り + n 通り

${}_n\mathrm{P}_r = n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - r + 1)$（n から1ずつ小さい数を r 個かける）

${}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}$

解き方の手順

1. 全体の数 n と、選ぶ数 r を確かめます。
2. 選んだあとに順番や役割を区別するかを考えます。区別するなら順列、しないなら組合せです。
3. 順列 ${}_n\mathrm{P}_r$ は、n から1ずつ小さい数を r 個かけます。
4. 組合せ ${}_n\mathrm{C}_r$ は、その順列の数を $r!$ でわります。