並べ方と組み合わせ方の練習問題

考え方

落ちや重なりがないように、並べ方・組み合わせ方の数を数えられるようになります。担当の決め方、総当たり戦の試合数、メニューの組み合わせなど、何通りあるかを見積もるときに使います。

並べ方

選んだものの順番や役割を区別する数え方。「司会がA・書記がB」と「司会がB・書記がA」は別の選び方。

組み合わせ

選んだものの順番を区別しない数え方。「AとB」と「BとA」は同じ1通り。

思いつくままに書き出すと、落ちや重なりが出ます。樹形図や表を使って、決まった順番で書き出すのがコツです。

4人（A・B・C・D）から司会と書記を1人ずつ選ぶとき、司会は 4 通り。そのそれぞれについて、書記は残りの 3 人から選ぶので 3 通り。全部で $4 \times 3 = 12$ 通りです（図の表で、ななめのマス以外の 12 マス）。

4チームの総当たり戦の試合数を同じように数えると $4 \times 3 = 12$ ですが、「A 対 B」と「B 対 A」は同じ試合です。1試合を2回ずつ数えているので、$12 \div 2 = 6$ 試合になります（図の色のついたマス）。

最初に、順番や役割を区別するか（並べ方）、区別しないか（組み合わせ）を確かめましょう。2つを選ぶ組み合わせなら、並べ方の数を 2 でわります。

ポイント

並べ方（2つの役を1人ずつ選ぶ）: 人数 × (人数 − 1)

組み合わせ（2つを選ぶ・総当たり戦）: 人数 × (人数 − 1) ÷ 2

落ちや重なりがないように、樹形図や表で順に数える

解き方の手順

1. 選ぶものの順番や役割を区別するか（並べ方か組み合わせか）を決めます。
2. 1つめの選び方が何通りかを数えます。
3. そのそれぞれについて、2つめの選び方が何通りかを数え、かけ算します。
4. 組み合わせなら、同じ組を2回ずつ数えているので 2 でわります。