線形写像と表現行列の練習問題

考え方

足し算と定数倍を保つ変換（線形写像）を行列で表し、変換を続けたときの行列や、変換でつぶれる方向（核）の次元を求められるようになります。画像処理の変換の合成や、配合・生産計画の自由度の分析に使います。

線形写像

$f(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = f(\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y})$ と $f(k\boldsymbol{x}) = kf(\boldsymbol{x})$ を満たす写像。

表現行列

線形写像を $f(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}$ と表したときの行列 $A$。

核 $\ker A$

$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ となる $\boldsymbol{x}$ 全体。変換で $\boldsymbol{0}$ につぶれる方向。

階数 $\operatorname{rank} A$

像（$A\boldsymbol{x}$ として現れるベクトル全体）の次元。

線形写像は、足し算と定数倍の関係を崩さない変換です。だから基本のベクトル $\boldsymbol{e}_1 = (1, 0)$, $\boldsymbol{e}_2 = (0, 1)$ の行き先さえ分かれば、$(x, y) = x\boldsymbol{e}_1 + y\boldsymbol{e}_2$ の行き先はすべて決まります。

表現行列は、$\boldsymbol{e}_1$ の行き先を1列目、$\boldsymbol{e}_2$ の行き先を2列目に並べた行列です。$S(x, y) = (2x + y,\ x - 3y)$ のように式で与えられたら、各成分の係数を行ごとに並べて $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ とします。

$T$ をしてから $S$ をする合成 $S \circ T$ は、$S(T(\boldsymbol{x})) = [S]([T]\boldsymbol{x})$ なので、表現行列は $[S][T]$（あとの変換が左）です。

$m \times n$ 行列 $A$ は、$\mathbb{R}^n$ から $\mathbb{R}^m$ への写像です。核の次元と階数の和は、もとの空間の次元（列の数 $n$）に等しくなります（次元定理）。行の数から引かないように注意します。

ポイント

表現行列 $= \begin{pmatrix} f(\boldsymbol{e}_1) & f(\boldsymbol{e}_2) & \cdots \end{pmatrix}$（行き先を列に並べる）

合成: $[S \circ T] = [S][T]$

次元定理: $\dim\ker A + \operatorname{rank} A = n$（$A$ は $m \times n$ 行列、$n$ は列の数）

解き方の手順

1. 行き先が分かっているときは、$\boldsymbol{e}_1$, $\boldsymbol{e}_2$ の行き先を列に並べて表現行列を作る。式で与えられたときは係数を行ごとに並べる。
2. 合成 $S \circ T$ なら、あとからかける $S$ の行列を左にして $[S][T]$ を計算する。
3. 核の次元を聞かれたら、行基本変形で階段の形にして、0 でない行の数（階数）を数える。
4. 次元定理で、$\dim\ker A$ =（列の数）− $\operatorname{rank} A$ を求める。