固有値・固有ベクトルと対角化の練習問題

考え方

行列の変換で向きが変わらない特別な方向（固有ベクトル）と、その方向の伸び縮みの倍率（固有値）を求め、行列を対角化できるようになります。主成分分析、レコメンド、振動の解析、長期の推移の予測などの土台です。

固有ベクトル

$A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v}$（$\boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{0}$）となるベクトル。変換しても同じ直線の上にある方向。

固有値

そのときの倍率 $\lambda$。

固有方程式

$\det(A - \lambda E) = 0$。固有値はこの方程式の解。

対角化

固有ベクトルを並べた行列 $P$ で、$P^{-1}AP$ を対角行列（対角成分以外が 0）にすること。

行列 $A$ でベクトルを変換すると、ふつうは向きも長さも変わります。ところが特別な方向のベクトルは、向き（直線）が変わらず、長さだけが $\lambda$ 倍になります。この方向が固有ベクトル、倍率が固有値です。

$A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v}$ は $(A - \lambda E)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ と書けます。$\boldsymbol{0}$ でない解 $\boldsymbol{v}$ があるのは、$A - \lambda E$ が平面をつぶすとき、つまり $\det(A - \lambda E) = 0$ のときです。2×2 なら $\lambda$ の2次方程式になります。

$\det(A - \lambda E)$ は、対角成分の両方から $\lambda$ を引いた行列の行列式 $(a - \lambda)(d - \lambda) - bc$ です。展開すると $\lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc)$ になり、固有値の和は $a + d$、積は $\det A$ になります（検算に便利です）。

固有値が求まったら、$(A - \lambda E)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ を解いて固有ベクトルを求めます。固有ベクトルを列に並べた $P$ を使うと $P^{-1}AP$ が固有値を対角に並べた行列になり、$A^n$ の計算などが簡単になります。

ポイント

$A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v}$（$\boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{0}$）

固有方程式: $\det(A - \lambda E) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0$

対角化: $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$（$P$ は固有ベクトルを列に並べた行列）

解き方の手順

1. 対角成分の両方から $\lambda$ を引いた行列の行列式 $(a - \lambda)(d - \lambda) - bc$ を作る。
2. 展開して $\lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0$ の形にし、因数分解して固有値を求める（$\lambda = 1, 6$ のように答える）。
3. 固有値の和が $a + d$、積が $ad - bc$ になっているか確かめる。
4. 固有ベクトルは、$(A - \lambda E)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ の1行目から $\boldsymbol{v} = (1, t)$ の形で求める。