対称行列の対角化と二次形式の練習問題

考え方

$ax^2 + 2hxy + cy^2$ のような二次形式を、座標軸を回して $xy$ の項のない標準形にし、等高線が楕円か双曲線か、最小値をもつかを判定できるようになります。最適化、統計の分散共分散、損失関数の形の分析で使います。

対称行列

転置しても変わらない行列（$A^{\mathsf{T}} = A$）。

二次形式

$Q(x, y) = ax^2 + 2hxy + cy^2$ の形の式。対称行列 $A$ で $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}A\boldsymbol{x}$ と書ける。

直交行列

列ベクトルが互いに直交し、長さ 1 の行列。回転（や折り返し）を表し、$P^{-1} = P^{\mathsf{T}}$。

正定値

原点以外でつねに $Q > 0$ になること。固有値がすべて正。

二次形式は、対称行列を使って $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}A\boldsymbol{x}$ と書けます。対角に $x^2$, $y^2$ の係数を置き、$xy$ の係数は半分ずつ2つの非対角成分に分けます。たとえば $5x^2 + 4xy + 2y^2$ なら $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ です。

対称行列の固有ベクトルは互いに直交するので、その方向を新しい座標軸 $X$, $Y$ にとる（直交行列で回転する）ことができます。すると $xy$ の項が消えて、$Q = \lambda_1X^2 + \lambda_2Y^2$（標準形）になります。係数は $A$ の固有値です。

固有値がどちらも正なら正定値で、等高線 $Q = k$ は楕円になり、原点で最小です。どちらも負なら負定値、符号が違えば不定値で、等高線は双曲線（鞍点の形）になります。

$x^2$ と $y^2$ の係数がどちらも正でも、$xy$ の項が大きいと不定値になることがあります。対角成分だけで判断せず、固有値の符号で判定しましょう。

ポイント

$ax^2 + 2hxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & h \\ h & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

直交行列 $P$ で $P^{\mathsf{T}}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$、標準形 $Q = \lambda_1X^2 + \lambda_2Y^2$

固有値がすべて正 → 正定値（楕円・最小）、すべて負 → 負定値、正と負 → 不定値（双曲線）

解き方の手順

1. $Q$ を対称行列 $A$ で表す（$xy$ の係数は半分ずつ非対角に置く）。
2. 固有方程式 $(a - \lambda)(c - \lambda) - h^2 = 0$ を解いて、固有値 $\lambda_1$, $\lambda_2$ を求める。
3. 標準形 $\lambda_1X^2 + \lambda_2Y^2$ の係数は固有値。$\lambda = -1, 7$ のように答える。
4. 固有値の符号で、正定値・負定値・不定値を判定する。