多変数関数の極値とラグランジュの未定乗数法の練習問題

考え方

2つの変数で決まる利益や損失が最大・最小になる点を求め、そこが山頂・谷底・峠（鞍点）のどれかを判定できるようになります。予算などの条件がつく最適化は、ラグランジュの未定乗数法で解きます。

臨界点

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$（$\nabla f = \boldsymbol{0}$）となる点。極値の候補。

ヘッセ行列

2階偏導関数を並べた行列 $\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}$。その行列式を $D$ と書く。

鞍点

ある向きには上り、別の向きには下る点（峠・馬の鞍の形）。極値ではない。

ラグランジュの未定乗数法

条件 $g(x, y) = 0$ のもとで極値を探すため、$L = f - \lambda g$ を偏微分して 0 とおく方法。

1変数では $f'(x) = 0$ の点が極値の候補でした。2変数でも同じで、山頂や谷底では、どの向きにも傾きが 0 です。だから $f_x = 0$ と $f_y = 0$ を連立して解いた点（臨界点）が候補になります。

ただし、傾きが 0 でも極値とは限りません。2階偏導関数から $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算し、$D > 0$ なら極値（$f_{xx} > 0$ で極小、$f_{xx} < 0$ で極大）、$D < 0$ なら鞍点と判定します。

$f_{xx}$ と $f_{yy}$ の符号がそろっていても、$xy$ の項（$f_{xy}$）が大きいと鞍点になることがあります。対角成分だけで決めず、必ず $D$ を計算しましょう。

予算のような条件 $g(x, y) = 0$ があるときは、$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$ を $x$, $y$, $\lambda$ で偏微分して 0 とおき、連立して解きます。最適な点では $f$ の等高線と条件の線が接していて、2つの勾配が平行（$\nabla f = \lambda\nabla g$）になることを式にしたものです。

ポイント

臨界点: $f_x = 0$, $f_y = 0$

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$。$D > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ → 極小、$D > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ → 極大、$D < 0$ → 鞍点

ラグランジュ: $L = f(x, y) - \lambda g(x, y)$ として $L_x = L_y = L_\lambda = 0$

解き方の手順

1. $f_x$ と $f_y$ を求め、$f_x = 0$, $f_y = 0$ の連立方程式を解いて臨界点を出す。
2. $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ を求め、$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算する。
3. $D$ と $f_{xx}$ の符号で、極大・極小・鞍点を判定する。
4. 条件つきなら $L = f - \lambda g$ を作り、$L_x = 0$, $L_y = 0$ から $\lambda$ を消して $x$ と $y$ の関係を出し、条件の式に代入する。