偏微分と全微分の練習問題

考え方

2つ以上の変数で決まる量（コスト・利益・損失関数など）について、1つの変数だけを動かしたときの変化の割合（偏微分）を計算できるようになります。機械学習のパラメータ調整や、複数の要因の感度分析の基本です。

偏微分 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$（$f_x$）

$y$ を固定して、$x$ だけを動かしたときの $f$ の変化の割合。

全微分

$x$ と $y$ を同時に少し動かしたときの $f$ の変化。$df = f_x\,dx + f_y\,dy$。

連鎖律

$x$, $y$ がさらに $t$ の関数のとき、$\dfrac{df}{dt} = f_x\dfrac{dx}{dt} + f_y\dfrac{dy}{dt}$。

$f(x, y)$ は、$x$ と $y$ の2つのつまみで値が決まる装置のようなものです。$y$ のつまみを固定して $x$ だけ回したときの変化の割合が、$x$ についての偏微分です。

計算は1変数の微分と同じです。$x$ で偏微分するときは、$y$ をただの数（定数）とみなします。たとえば $3x^2y^3$ を $x$ で偏微分すると、$y^3$ は係数のまま残って $6xy^3$ になり、$y$ だけの項（$5y^2$ など）は 0 になります。

$x$ と $y$ を同時に少しずつ動かしたときの変化は、「それぞれの偏微分 × 動かした量」の和で近似できます。これが全微分 $df = f_x\,dx + f_y\,dy$ で、誤差がどう伝わるかの見積もりにも使えます。

よくある間違いは、$x$ で偏微分するのに、$y$ を含む項まで変数として微分してしまうことです。「いまどの文字で微分しているか」を最初に確かめましょう。

ポイント

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$: $y$ を定数とみなして $x$ で微分する

$\dfrac{\partial}{\partial x}(cx^my^n) = cmx^{m-1}y^n$（$y^n$ は係数として残る）

全微分: $df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy$

連鎖律: $\dfrac{d}{dt}f(x(t), y(t)) = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}$

解き方の手順

1. どの文字で偏微分するかを確かめ、それ以外の文字は定数として扱う。
2. 項ごとに、偏微分する文字の部分だけを $x^n \to nx^{n-1}$ で微分し、ほかの文字は係数として残す。
3. 偏微分する文字を含まない項は 0 にする。
4. 同類項をまとめて、$x$ と $y$ の式で答える。