広義積分の練習問題

考え方

積分の区間が無限に続く場合や、端で関数が無限大になる場合の積分（広義積分）を、極限として計算できるようになります。ずっと続く効果の合計、無限遠までの仕事、確率分布の計算に使います。

広義積分

区間の端が無限大、または端で関数が発散するときの積分。有限の区間で積分してから極限をとって決める。

収束・発散

極限が有限の値に決まれば収束、決まらなければ（無限大になれば）発散。

グラフと $x$ 軸の間の部分が右へ無限に続いていても、高さが十分速く 0 に近づけば、面積の合計は有限になることがあります。毎日減っていく問い合わせ件数の合計が、ある件数に落ち着くのと同じです。

計算は2段階です。まず上端を有限の $R$ にして普通に積分し、そのあと $R \to \infty$ の極限をとります。「上端の極限 − 下端の値」の順に引くことに注意します。

$e^{-kt}$（$k > 0$）の不定積分は $-\dfrac{1}{k}e^{-kt}$ で、$t \to \infty$ で 0 に近づくので、$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-kt}\,dt = \frac{1}{k}$ です。$\dfrac{1}{x^p}$ の形は、$\displaystyle\int_1^{\infty}$ なら $p > 1$ で収束し、$p \le 1$ で発散します。

端で関数が無限大になる $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ のような場合も、下端を $\varepsilon$ にして $\varepsilon \to +0$ とすれば同じように計算できます（値は 2）。

ポイント

$\displaystyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{R \to \infty}\int_a^{R} f(x)\,dx$

$\displaystyle\int e^{-kt}\,dt = -\frac{1}{k}e^{-kt} + C$、$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-kt}\,dt = \frac{1}{k}$（$k > 0$）

$\displaystyle\int x^{-p}\,dx = \frac{x^{-p+1}}{-p+1} + C$（$p \neq 1$）。$\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}$ は $p > 1$ で収束

解き方の手順

1. 不定積分 $F(x)$ を求める（$e^{-kt}$ なら $k$ で割って符号を変える、$x^{-p}$ なら指数を1つ上げてその数で割る）。
2. 上端を $R$ として、$F(R) - F(a)$ を計算する。
3. $R \to \infty$ の極限をとる（$e^{-kR} \to 0$、$\dfrac{1}{R^m} \to 0$）。
4. 「上端の極限 − 下端の値」を計算し、既約分数で答える。