中学校・中2・図形

合同と証明の練習問題

三角形の合同条件を使って、根拠を示しながら証明できる。

考え方

2つの三角形が合同（ぴったり重なる）であることを、合同条件と根拠を示して説明（証明）できるようになります。「なぜそう言えるのか」を順序立てて示す考え方は、報告書や提案の説明にも通じます。

合同
形も大きさも同じで、ぴったり重ねられること。記号 ≡ を使い、△ABC≡△DEF\triangle ABC \equiv \triangle DEF のように対応する頂点の順に書きます。
仮定・結論
「〇〇ならば△△」の〇〇（分かっていること）が仮定、△△（示したいこと）が結論です。
証明
仮定から出発し、正しいと認められている性質を根拠にして、結論を導くこと。

三角形には辺が3つ、角が3つあります。6つ全部を確かめなくても、次の合同条件のどれか1つがいえれば、2つの三角形は合同です。

合同条件は「3組の辺がそれぞれ等しい」「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」の3つです。「3組の角が等しい」だけでは、大きさの違う三角形（拡大図）があるので合同とはいえません。

等しいことの根拠には、仮定（問題の条件）のほか、「対頂角は等しい」「平行線の錯角（同位角）は等しい」「共通な辺（2つの三角形が共有する辺）」がよく使われます。

証明は「△ABC\triangle ABC と △DCB\triangle DCB において」と始め、等しい辺や角を根拠と一緒に①②③と書き、最後に「①②③より、〇〇がそれぞれ等しいので △ABC≡△DCB\triangle ABC \equiv \triangle DCB」と結びます。

線分 BC の上側に点 A と D があり、AB、AC、DB、DC が引かれて △ABC と △DCB ができている。AB と DC に同じ長さの印、∠ABC と ∠DCB に同じ角の印がある。ADBC
AB=DCAB = DC（線の印）、∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB（角の印）です。辺 BC は △ABC と △DCB の両方にふくまれる共通な辺です。

ポイント

合同条件1: 3組の辺がそれぞれ等しい

合同条件2: 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

合同条件3: 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

よく使う根拠: 仮定、対頂角は等しい、平行線の錯角・同位角は等しい、共通な辺

解き方の手順

  1. 仮定で等しいと分かっている辺・角に、図で印を付けます。
  2. 対頂角・平行線の錯角・共通な辺など、図から等しいといえるものを探して印を加えます。
  3. 等しい3つが「辺・辺・辺」「辺・間の角・辺」「角・間の辺・角」のどれにあたるかを確かめ、合同条件を選びます。
  4. ①②③に根拠を書き、最後に使った合同条件と結論を書きます。

例

図で AB=DCAB = DC、∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB です。△ABC≡△DCB\triangle ABC \equiv \triangle DCB を証明しましょう。

  1. △ABC\triangle ABC と △DCB\triangle DCB において
  2. AB=DCAB = DC（仮定）…①
  3. ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB（仮定）…②
  4. BC=CBBC = CB（共通な辺）…③
  5. ①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ABC≡△DCB\triangle ABC \equiv \triangle DCB

よくある間違い

練習問題でこの間違い方をしたときは、その場でお伝えします。

  • 3組の角が等しければ合同とする「3組の角がそれぞれ等しい」を合同条件として使う（形は同じでも大きさがちがう、相似なだけの場合がある）。3組の角が等しくても、大きさのちがう三角形（相似な三角形）があります。合同条件には、少なくとも1組の辺が必要です。

見る

計算例

線分 BC の同じ側に点 A, D があり、∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB、∠ACB=∠DBC\angle ACB = \angle DBC です。このとき △ABC≡△DCB\triangle ABC \equiv \triangle DCB を証明します。

線分 BC の上側に点 A と D があり、AB, AC, DB, DC がひかれている。∠ABC と ∠DCB、∠ACB と ∠DBC に印がある。ABCD

問い△ABC≡△DCB\triangle ABC \equiv \triangle DCB を示すには、どの合同条件を使いますか？

  1. 13組の辺がそれぞれ等しい
  2. 22組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
  3. 31組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい正解
  4. 43組の角がそれぞれ等しい

途中の式

  1. △ABC\triangle ABC と △DCB\triangle DCB において
  2. ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB（仮定）…①
  3. ∠ACB=∠DBC\angle ACB = \angle DBC（仮定）…②
  4. BCBC は共通 …③
  5. ①②③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ABC≡△DCB\triangle ABC \equiv \triangle DCB

答え使う合同条件は 3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

一緒にやる

小さく分けて、一緒に解く

1つずつ答えを確かめながら進みます。間違えても大丈夫です。

線分 AB と線分 CD が点 O で交わっていて、AO=BOAO = BO、CO=DOCO = DO です。このとき △AOC≡△BOD\triangle AOC \equiv \triangle BOD を証明します。

線分 AB と線分 CD が点 O で交わり、△AOC と △BOD ができている。AO と BO、CO と DO に等しい長さの印がある。ABCDO

△AOC≡△BOD\triangle AOC \equiv \triangle BOD を示すには、どの合同条件を使いますか？

小さな問いに分けて、1つずつ一緒に進めます。

ステップ 1 / 3

∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD がいえる根拠はどれですか？

自分でやる

練習問題

数字は毎回変わります。2〜3問続けて解けたら、次の単元や元のレッスンに進みましょう。

問題を準備しています…

学び直しマップ

前後の単元

分からないところがあったら前提まで戻り、分かったら使う先へ進みましょう。

この単元の前に（前提）

この単元を使う先

学び直しマップで、この単元のまわりを見る