正弦定理・余弦定理の練習問題

考え方

直角三角形でなくても、2辺とその間の角などから、残りの辺や角、面積を求められるようになります。池や川をはさんだ2地点の距離や、土地の面積の測量などで使います。

a, b, c

三角形 ABC で、頂点 A の向かいの辺 BC を a、B の向かいの辺 CA を b、C の向かいの辺 AB を c と書く約束です。

外接円

三角形の3つの頂点を通る円です。半径を R と書きます。

三角比は直角三角形の比でしたが、正弦定理・余弦定理を使うと、どんな三角形でも辺と角の関係が分かります。どちらを使うかは、分かっているものの組み合わせで決まります。

余弦定理 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$ は、三平方の定理を広げたものです。A が 90° なら $\cos 90^{\circ} = 0$ で三平方の定理そのものになり、A が 90° より大きいと $\cos A$ が負なので、a は長くなります。「2辺とその間の角」から残りの辺を、「3辺」から角を求めるときに使います。

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ は、「辺の長さは、向かい合う角の sin に比例する」という関係です。「1辺と2つの角」が分かるときや、外接円の半径を求めるときに使います。

2辺 b, c とその間の角 A が分かれば、面積は $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ で求められます。$c\sin A$ が、辺 b を底辺としたときの高さになっているからです。

$\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$ のように、鈍角の cos は負です。余弦定理の $-2bc\cos A$ の符号に注意しましょう。

ポイント

余弦定理: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$（角を求めるときは $\cos A = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$）

正弦定理: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

面積: $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$

解き方の手順

1. 図をかき、分かっている辺と角を書き込みます。求める辺の向かいの角に注目します。
2. 「2辺とその間の角」または「3辺」なら余弦定理、「1辺と2つの角」や外接円の半径なら正弦定理を選びます。
3. cos・sin の値を代入します。鈍角の cos は負なので、$-2bc\cos A$ の符号に注意します。
4. 最後に √ をとり、$\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ のように、できるだけ簡単な形で答えます。