ε-δ 論法と連続性の練習問題

考え方

「限りなく近づく」をあいまいな言葉ではなく、誤差の幅のやりとりとして正確に述べられるようになります。製造の公差（入力の誤差をどこまで抑えれば、出力の誤差が許容範囲に収まるか）と同じ考え方です。

$\varepsilon$（イプシロン）

出力 $f(x)$ の側で許す誤差の幅。先に指定される。

$\delta$（デルタ）

入力 $x$ の側で守る誤差の幅。$\varepsilon$ に合わせて、あとから選ぶ。

連続

$\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ が成り立つこと。グラフが $x = c$ でつながっている。

高校では「$x$ を $c$ に限りなく近づけると、$f(x)$ は $L$ に限りなく近づく」と習いました。ε-δ 論法は、これを「どんな誤差の注文にも必ず応えられる」という形で言い直したものです。

どんなに小さな誤差の幅 $\varepsilon > 0$ を決められても、それに応じて幅 $\delta > 0$ をうまく選べば、$0 < |x - c| < \delta$ を満たすすべての $x$ で $|f(x) - L| < \varepsilon$ にできる。これが $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ の定義です。$\varepsilon$ が先、$\delta$ はあとという順番が大切です。

1次関数 $f(x) = ax + b$ なら、$L = ac + b$ として $|f(x) - L| = |a||x - c|$ と書けます。$x$ のずれが $\delta$ 未満なら、$f(x)$ のずれは $|a|\delta$ 未満です。だから $|a|\delta \le \varepsilon$、つまり $\delta = \dfrac{\varepsilon}{|a|}$ と選べば条件を満たします。

傾きが急なほど、入力のずれは出力で大きくなるので、$\delta$ は小さくしなければなりません。$\varepsilon$ に $|a|$ を掛けるのではなく、$|a|$ で割る点に注意しましょう。

ポイント

$\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ の定義: どんな $\varepsilon > 0$ に対しても、ある $\delta > 0$ があって、$0 < |x - c| < \delta$ ならば $|f(x) - L| < \varepsilon$

$f(x) = ax + b$ のとき $|f(x) - L| = |a||x - c|$ なので、$\delta = \dfrac{\varepsilon}{|a|}$ ととれる

連続: $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$

解き方の手順

1. $L = f(c)$ を計算し、$|f(x) - L|$ を $|x - c|$ を使って表す（1次関数なら $|a||x - c|$）。
2. $|x - c| < \delta$ のとき、$|f(x) - L|$ がどこまで大きくなるかを $\delta$ で書く（$|a|\delta$ 未満）。
3. それが $\varepsilon$ 以下になる条件 $|a|\delta \le \varepsilon$ を解き、最大の $\delta = \dfrac{\varepsilon}{|a|}$ を求める。
4. どんな $\varepsilon$ でも同じように $\delta$ を選べるので、極限が示せたことになる。