比例・反比例（負の数を含む）の練習問題

考え方

比例 $y = ax$ と反比例 $y = \frac{a}{x}$ を、負の数の範囲まで使えるようになります。単価と代金（比例）、人数と1人あたりの作業時間（反比例）など、2つの量の関係を見抜く基本です。

関数

x の値を決めると、y の値がただ1つに決まる関係。「y は x の関数である」といいます。

比例定数

$y = ax$ や $y = \frac{a}{x}$ の a。負の数のこともあります。

比例 $y = ax$ では、x が2倍、3倍になると y も2倍、3倍になります。$\frac{y}{x}$ がいつも a で一定です。グラフは原点を通る直線で、a が負なら右下がりになります。

反比例 $y = \frac{a}{x}$ では、x が2倍、3倍になると y は $\frac{1}{2}$ 倍、$\frac{1}{3}$ 倍になり、かけ算 $xy$ がいつも a で一定です。12 時間かかる作業を x 人で分けると1人あたり $\frac{12}{x}$ 時間になる、という関係です。

x や y が負の数でも、決まりは同じです。$y = -\frac{6}{x}$ なら、$x = 2$ のとき $y = -3$、$x = -3$ のとき $y = 2$ で、どれも $xy = -6$ です。グラフは2つに分かれたなめらかな曲線（双曲線）になります。

式は、x と y の組が1つ分かれば決まります。比例なら $a = y \div x$、反比例なら $a = x \times y$ です。

ポイント

比例: $y = ax$（$\dfrac{y}{x} = a$ が一定）

反比例: $y = \dfrac{a}{x}$（$xy = a$ が一定）

比例定数: 比例なら $a = y \div x$、反比例なら $a = x \times y$

解き方の手順

1. 問題文から、比例か反比例かを見分けます。
2. 分かっている x と y の組から、比例定数 a を求めます（反比例なら $a = xy$）。符号に注意します。
3. 式に、求めたいときの x を代入します。
4. 負の数のかけ算・わり算の符号を確かめて答えます。