一次関数と方程式の練習問題

考え方

2つの直線の交点を連立方程式で求め、グラフの意味と結びつけられるようになります。料金プランを比べて「何時間以上ならどちらが得か」を判断する場面に、そのまま使えます。

交点

2つのグラフが交わる点。両方の式を同時に満たす $(x, y)$ です。

直線 $y = ax + b$ は、その式を満たす点 $(x, y)$ を全部集めたものです。2本の直線の交点は両方の式を満たすので、2つの式を連立方程式として解いた解が、交点の座標になります。

プランA は基本料金 1,000 円＋1時間 500 円、プランB は基本料金 2,500 円＋1時間 200 円とします。x 時間使ったときの料金 y 円は、A が $y = 500x + 1000$、B が $y = 200x + 2500$ です。

交点では、2つのプランの料金 y が等しくなります。だから、2つの式の右辺を = で結んだ方程式を解けば、料金が同じになる時間が分かります。

グラフで見ると、交点より左では A の線が下（安い）、右では B の線が下です。交点は「どちらが得か」が入れかわる境目です。

ポイント

2直線の交点の座標 = 2つの式を連立方程式として解いた解

$y = a_1x + b_1$ と $y = a_2x + b_2$ の交点: $a_1x + b_1 = a_2x + b_2$ を解く

交点の左右で、どちらのグラフが下にあるか（どちらが安いか）が入れかわる

解き方の手順

1. それぞれを「y = 傾き × x + 切片」の式で表します（1時間あたりの料金が傾き、基本料金が切片）。
2. 交点では y が等しいので、2つの式の右辺を = で結びます。
3. x についての一次方程式を解きます。
4. 求めた x をどちらかの式に代入して y を求め、交点を $(x, y)$ で答えます。